L'idea applicata alla dimostrazione della non numerabilità degli irrazionali, mi suona strana stranona stranissima.

Tutti sappiamo che non è possibile rappresentare *diciamo* graficamente un numero irrazionale come una sequenza di cifre. Ci sono le cifre che scrivo, ma per quante ne scriva, continuano a rimanerne infinite non espresse. Approssimo. Mi accontento. Più di tutto, mi accontento del sapere a grandi linee cosa succederà dopo (successione aperiodica infinita di cifre) e del fatto che so che gli irrazionali non sono rappresentabili. Ok, ok, ci sono le scorciatoie come scrivere e per il numero di Eulero o π per il rapporto tra circonferenza e diametro... simboli, utili per carità, ma non eliminano il problema: non si può rappresentare un numero irrazionale con un numero finito di cifre.

Poi arriva Cantor, scrive una matrice di numeri e dice immagina che proceda all'infinito... ok, fatto. Ho trovato un modo - dice - per creare un numero nuovo, a qualunque livello di finito grande tu ti spinga, ok e quindi? Intendo che per quanti numeri tu scriva o immagini di scrivere, io dalla diagonale posso estrarre un numero nuovo, il che significa che questo tipo di numeri nuovi è di un infinito superiore all'infinito dei numeri che già conosciamo.

Non riesco a capire la novità: l'infinito è normalmente fatto così. Per quanti numeri scriva, ce n'è sempre uno in più. E se il gioco è costruire un numero nuovo dalla diagonale e sostenere che è nuovo perché non è stato ancora rappresentato dai numeri elencati fino a quel punto, si tratta di aggiungerne altri fintanto che la differenza che rimane sempre sulla diagonale non si è spostata abbastanza a destra. Quanto? Abbastanza: il mio prof di analisi direbbe dato un epsilon a piacere, tale che per ogni i superiore ad n, la differenza tra il numero diagonale e la riga è inferiore ad espilon. Insomma, se tra 1 e 0,9periodico c'è una differenza di rappresentazione e non di valore, quella è la stessa differenza che c'è tra il limite della serie diagonale (spostando la differenza della cifra abbastanza a destra) e il numero nuovo diagonale costruito da Cantor.

Insomma, senza l'escamotaggio della diagonale, se qualcuno (anche mio nipote) viene e mi dice sai zio, per quanti numeri tu possa immaginare di scrivere, io posso trovartene sempre uno nuovo, non mi viene da pensare caspita!, ma piuttosto esatto figliolo, torna a giocare.

Cosa introduce esattamente di nuovo rispetto al concetto di limite l'argomento diagonale di Cantor?

Oh, ero lì che studiavo logica su un libro in inglese, che non mi passa la dimostrazione del teorema di Cantor della non enumerabilità di insiemi infiniti. Forse non sto traducendo bene - penso io - perché dovrei averla già digerita in tempi universitari, eppure non mi ricordavo di castroni simili.

Mi attacco in rete e santa wikipedia, protettrice della dea conoscenza, mi conferma che le cose stanno così, la dimostrazione è proprio quella. E i conti continuano a non tornarmi, ma è possibile? Dimmi tu.

Cosa ne pensi dell'insieme B = { ogni x tc x non appartiene a B }

Guarda che non è un modo figo per chiamare l'insieme vuoto, come all'inizio pensavo. Questa è una versione del paradosso del mentitore: una fallacia! Non puoi semplicemente affermare eh vabbè: non c'è nessun x che appartiene a B e finita così. Se così fosse, tutti gli x che non appartengono a B realizzano la condizione di appartenenza a B e quindi tutti gli x dovrebbero stare in B e così via: uguale uguale a quando dici io sto mentendo.

Come nel linguaggio la frase io sto mentendo è paradossale e, in un ragionamento logico, deve essere evitata, così in insiemistica la definizione di B di cui sopra ti permette di dimostrare qualunque cosa e il suo contrario (sì sì: come la religione). Non ci credi? Esempio:

Tesi: mi devi diecimila euro (sì sì: proprio tu).

Dimostrazione: prendiamo l'insieme delle persone B = { persone che non appartengono a questo insieme e che non mi devono diecimila euro }  e ipotizziamo per assurdo (reductio ad absurdum, in latino è fighissimo!) che tu appartieni a questo insieme; se ci appartieni, non ci appartieni, se non ci appartieni, ci appartieni per cui in ogni caso è assurdo. Per cui una delle due condizioni che definisce l'insieme è falsa; visto che la prima, come appena verificato, non è né vera, né falsa, deve essere falsa la seconda: quindi paga!

Invece Cantor, che per me sta ancora ridendo nella tomba, ha preso l'insieme di cui sopra e ci ha basato sopra l'insiemistica? Avrà pensato, immagino io, se la metto così se ne accorgono subito, buttiamoci dentro una funzione f(x) e chiediamoci se esiste un x tale che f(x) = B, la gente così si incasina, non si accorge e tutto passa. Forse aveva perso una scommessa, perché effettivamente l'espressione vediamo se esiste un y tc f(y) = B { x: x non appartiene a f(x)=B } allunga e basta; puoi allungarlo anche un altro po', ma rimane il fatto: è una fallacia.

Questo però non dà una risposta al confronto della cardinalità tra un insieme finito e l'insieme delle sue parti. Palla al centro, la partita ricomincia...